ユニタリ行列
正則行列
次の2条件を満たす行列。
- 正方行列である
- 逆行列を持つ
転置行列
行列\( A = ( a_{ ij } ) \)に対して、Aの転置\( A^{ \mathrm{ T } } \)は、
\[ A^{ \mathrm{ T } } = ( a_{ ij } )^{ \mathrm{ T } } = ( a_{ ji } ) \]
複素共役行列
行列\( A = ( a_{ ij } ) \)に対して、Aの複素共役\( A^{ \ast } \)は、
\[ A^{ \ast } = ( a_{ ij } )^{ \ast } = ( a_{ ij }^{ \ast } ) \]
エルミート共役行列
行列\( A = ( a_{ ij } ) \)に対して、Aのエルミート共役\( A^{ \dagger } \)は、
\[ A^{ \dagger } = ( A^{ \ast } )^{ \mathrm{ T } } = ( A^{ \mathrm{ T } } )^{ \ast } \]
次の式が成り立つとき、Aはエルミート行列である
\[ A = A^{ \dagger } \]
ユニタリ行列
次の2条件を満たす行列。
- 正則行列である
- 逆行列がエルミート共役行列である
\[ \begin{eqnarray}
U^{ \dagger }U &=& I \\
UU^{ \dagger } &=& I \\
U^{ -1 } &=& U^{ \dagger }
\end{eqnarray} \]
ブラケットと内積
ブラケット記法
列ベクトル \( \ket{\varphi} \) に対して、
\[ \bra{\varphi} = \ket{\varphi}^{ \dagger } \]
内積
列ベクトル \( \ket{\varphi}, \ket{\psi} \) に対して、
\[ \langle \varphi , \psi \rangle = \braket{ \varphi | \psi } = \bra{\varphi} \ket{\psi} \]
